摘要：指数分布的期望与方差求解方法 在概率论与数理统计中，指数分布是一种重要的连续概率分布，广泛应用于描述时间间隔、寿命等随机事件。指数分布具有......
一、指数分布的定义与概率密度函数
指数分布的概率密度函数为： \[ f(x; \lambda) = \lambda e^{-\lambda x} \quad (x \geq 0) \] 其中，\( \lambda > 0 \) 是指数分布的参数，表示事件发生的速率。二、指数分布的期望与方差
1. 期望的求解
指数分布的期望（即平均寿命）可以通过以下公式计算： \[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \] 这个公式的推导如下： \[ E(X) = \int_{0}^{\infty} x f(x; \lambda) dx = \int_{0}^{\infty} x \lambda e^{-\lambda x} dx \] 使用分部积分法，令 \( u = x \)，\( dv = \lambda e^{-\lambda x} dx \)，则 \( du = dx \)，\( v = -\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \)。 \[ E(X) = -\frac{1}{\lambda} x e^{-\lambda x} \bigg|_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} dx \] 由于 \( e^{-\lambda x} \) 在 \( x \to \infty \) 时趋近于 0，因此第一项为 0。第二项可以计算得到： \[ \int_{0}^{\infty} \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} dx = \frac{1}{\lambda^2} \] 期望 \( E(X) = \frac{1}{\lambda} \)。2. 方差的求解
指数分布的方差可以通过以下公式计算： \[ Var(X) = \frac{1}{\lambda^2} \] 这个公式的推导如下： \[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \] 其中，\( E(X^2) \) 可以通过以下公式计算： \[ E(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 f(x; \lambda) dx = \int_{0}^{\infty} x^2 \lambda e^{-\lambda x} dx \] 同样使用分部积分法，可以得到： \[ E(X^2) = \frac{2}{\lambda^3} \] 将 \( E(X) \) 和 \( E(X^2) \) 代入方差公式，得到： \[ Var(X) = \frac{2}{\lambda^3} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 = \frac{1}{\lambda^2} \]三、结论
通过上述分析，我们可以得出指数分布的期望和方差分别为 \( \frac{1}{\lambda} \) 和 \( \frac{1}{\lambda^2} \)。这些求解方法不仅适用于指数分布，还可以推广到其他具有无记忆性的连续概率分布。掌握这些求解方法对于理解和应用指数分布具有重要意义。版权声明：本站仅提供信息存储空间服务不拥有所有权，不承担相关法律责任。除特别声明外，本站所有文章皆是来自互联网，转载请以超链接形式注明出处！
